高三数学 · 专题复习

平面向量

—— 数形结合法

授课教师　何义亮

平面向量常见方法

Methods of Plane Vectors

共 10 种

01

直接法

02

基底转化法

03

几何意义法

04

万能建系法

05

向量中隐圆
和向量不等式

06

等和线
矩形大法

07

极化恒等式
中线定理

08

奔驰定理
鸡爪鸭爪模型

09

斯坦纳定理
斯标面积

10

数形结合法

三角形 · 四边形 · 圆

向量之数形结合法

Combining Algebra & Geometry

向量是既有大小又有方向的量，故向量具有代数和几何的双重身份。向量的引入给传统的数学带来了无限生机和活力。

对向量的应用，要注意向量与平面几何的结合、向量与三角函数及解三角形的结合等。

用向量法解题，体现了图形语言与符号语言的相互转换，要注意领悟其中包含的数形结合思想及思维方法。

“ 数形转化是数学之美 —— 哈密顿，向量的奠基人

数

代数身份坐标、运算、数量积 —— 可以「算」

形

几何身份有向线段、长度、夹角 —— 可以「看」

⇄

相互转换代数问题几何化，几何问题代数化

◎

本节课当条件能「画出来」时，先画图，再观察

方法讲解

When to Draw

适用题型特征

题目条件 → 构造等价的几何图形 → 转化为几何关系 → 解决问题

∣·∣

模长为定值

\(|\vec a|=1\)

∠

夹角为定值

\(\langle\vec a,\vec b\rangle=60^\circ\)

⊥

垂直关系

\(\vec a\cdot\vec b=0\)

±

和与差问题

\(\vec a+\vec b,\ \vec a-\vec b\)

·

数量积关系

\((\vec c-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)\le 0\)

💡 看见这些条件，先别急着算 —— 试着把图形画出来，答案往往就在图上。

1

已知 \(\vec a\)、\(\vec b\) 为单位向量，且 \(\vec a\cdot\vec b=0\)，若向量 \(\vec c\) 满足 \((\vec a-\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=0\)，则 \(|\vec c|\) 的最大值为 \(\underline{\qquad}\)。

解析

令 \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)，\(\overrightarrow{OC}=\vec c\)。

因为 \(\vec a\cdot\vec b=0\)，所以 \(OA\perp OB\)；

又 \((\vec a-\vec c)\cdot(\vec b-\vec c)=0\)，即 \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0\)，所以 \(CA\perp CB\)，

可知点 \(C\) 在以 \(AB\) 为直径的 \(\odot M\) 上。

✓ 观察图形易得 \(|\vec c|_{\max}=\sqrt2\)

2

设 \(\vec a\)、\(\vec b\)、\(\vec c\) 为单位向量，且 \(\vec a\cdot\vec b=0\)，若 \((\vec c-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)\le 0\)，则 \(|\vec a+\vec b-\vec c|\) 的最大值为 \(\underline{\qquad}\)。

解析

令 \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)，\(\overrightarrow{OC}=\vec c\)，\(\overrightarrow{OD}=\vec a+\vec b\)。

因为 \(\vec a\cdot\vec b=0\)，所以 \(OA\perp OB\)；

又 \((\vec c-\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)\le 0\)，即 \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}\le 0\)，所以 \(\angle ACB\ge\dfrac{\pi}{2}\)，

可知点 \(C\) 在以 \(AB\) 为直径的 \(\odot M\) 的圆面上，

且到点 \(O\) 距离为 \(1\) 的圆弧上运动；

又 \(\vec a+\vec b-\vec c=\overrightarrow{CD}\)，

✓ 观察图形易得 \(|\vec a+\vec b-\vec c|_{\max}=1\)

3

已知平面向量 \(\vec a\)、\(\vec b\)、\(\vec c\) 满足 \(|\vec a|=|\vec b|=1\)， \(\vec a\cdot(\vec a-2\vec b)=0\)，\((\vec c-2\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=0\)，则 \(|\vec c|\) 的最大值与最小值的和为 \(\underline{\qquad}\)。

解析

令 \(\overrightarrow{OA}=\vec a\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec b\)，\(\overrightarrow{OC}=\vec c\)，\(\overrightarrow{OD}=2\vec a\)，\(\overrightarrow{OE}=2\vec b\)。

因为 \(\vec a\cdot(\vec a-2\vec b)=0\)，所以 \(OA\perp EA\)；

又 \((\vec c-2\vec a)\cdot(\vec c-\vec b)=0\)，即 \(\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)，所以 \(DC\perp BC\)，

则点 \(C\) 在以 \(BD\) 为直径的 \(\odot M\) 上。又 \(|\vec a|=|\vec b|=1\)，根据几何关系，

易得 \(|\vec c|_{\min}=\dfrac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\)，\(|\vec c|_{\max}=\dfrac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\)，

✓ 所以 \(|\vec c|\) 的最大值与最小值的和为 \(\sqrt7\)

课堂小结

Summary

法法无定法

向量数形结合法是解决向量问题的方法之一，法无定法，把课堂中讲解的每一种方法灵活运用，方成就向量之美。

形数形一身

向量加法的平行四边形（或三角形）法则是运用几何性质解决向量问题的基础；向量的坐标表示及坐标运算法则，是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点。

⇄形中觅数

向量的模、夹角、共线与垂直，都是「形中觅数、数中寻形」—— 代数问题几何化，几何问题代数化。

感谢各位老师的聆听，再见 THANKS FOR LISTENING